JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是并不是网络形态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。兩个多 图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了兩个多 图的形态:

  在介绍要怎样用JavaScript实现图如果,.我先介绍因此 和图相关的术语。

  如上图所示,由两根边连接在一齐的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。兩个多 顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它兩个多 顶点相连,本来我有A的度为3,E和其它兩个多 顶点相连,本来我有E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中中含路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包中含重复的顶点,由于将的最后兩个多 顶点加进去,它也是兩个多 简单路径。例如于路径ADCA是兩个多 环,它就有兩个多 简单路径,由于将路径中的最后兩个多 顶点A加进去,没人它本来我兩个多 简单路径。由于图中不处于环,则称该图是无环的。由于图中任何兩个多 顶点间都处于路径,则该图是连通的,如上图本来我兩个多 连通图。由于图的边没人方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,由于兩个多 顶点间在双向上都处于路径,则称这人 个多 顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。由于有向图中的任何兩个多 顶点间在双向上都处于路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还可不是加权的。前面.我就看的图就有未加权的,下图为兩个多 加权的图:

  可不还上能 想象一下,前面.我介绍的树和链表也属于图的并不是特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,例如于.我可不还上能 搜索图中的兩个多 特定顶点或两根特定的边,由于寻找兩个多 顶点间的路径以及最短路径,检测图中不是处于环等等。

  处于多种不同的法律法律依据来实现图的数据形态,下面介绍几种常用的法律法律依据。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,.我用兩个多 二维数组来表示图中顶点之间的连接,由于兩个多 顶点之间处于连接,则这人 个多 顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,因此为0。下图是用邻接矩阵法律法律依据表示的图:

  由于是加权的图,.我可不还上能 将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵法律法律依据处于兩个多 缺点,由于图是非强连通的,则二维数组中会有本来我有的0,这表示.我使用了本来我有的存储空间来表示根本不处于的边。原先缺点本来我当图的顶点处于改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外并不是实现法律法律依据是邻接表,它是对邻接矩阵的并不是改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,.我可不还上能 用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  .我还可不还上能 用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的清况 下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵法律法律依据表示的图:

  下面.我重点看下要怎样用邻接表的法律法律依据表示图。.我的Graph类的骨架如下,它用邻接表法律法律依据来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中加进去去兩个多

新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中加进去去a和b兩个多

顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,.我用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据形态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每兩个多 顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面.我给出的邻接表的示意图。因此在Graph类中,.我提供兩个多 法律法律依据,法律法律依据addVertex()用来向图中加进去去兩个多 新顶点,法律法律依据addEdge()用来向图中加进去去给定的顶点a和顶点b之间的边。你可不还上能 门来看下这人 个多 法律法律依据的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要加进去去兩个多 新顶点,首没人判断该顶点在图中不是由于处于了,由于由于处于则不到加进去去。由于不处于,就在vertices数组中加进去去兩个多 新元素,因此在字典adjList中加进去去兩个多 以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 由于图中没人顶点a,先加进去去顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 由于图中没人顶点b,先加进去去顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中加进去去指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中加进去去指向顶点a的边
}

  addEdge()法律法律依据也很简单,首没人确保给定的兩个多 顶点a和b在图中都要处于,由于不处于,则调用addVertex()法律法律依据进行加进去去,因此分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中加进去去兩个多 新元素。

  下面是Graph类的全版代码,其中的toString()法律法律依据是为了.我测试用的,它的处于就有都要的。

  对于本文一开使英语 给出的图,.我加进去去下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  可不还上能 就看,与示意图是相符合的。

  和树例如于,.我也可不还上能 对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历法律法律依据分为并不是:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和深度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历可不还上能 用来寻找特定的顶点或兩个多 顶点之间的最短路径,以及检查图不是连通、图中不是中含环等。

  在接下来要实现的算法中,.我按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问因此被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第兩个多 顶点开使英语 遍历图,先访问这人 顶点的所有相邻顶点,因此再访问哪些相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  由于.我采用邻接表的法律法律依据来存储图的数据,对于图的每个顶点,就有兩个多 字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于这人 数据形态,.我可不还上能 考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,因此依次正确处理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将开使英语 顶点存入队列。
  2. 遍历开使英语 顶点的所有邻接顶点,由于哪些邻接顶点没人被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),因此加入队列。
  3. 将开使英语 顶点标记为被正确处理(颜色为黑色)。
  4. 循环正确处理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()法律法律依据接收兩个多 graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要要怎样正确处理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),哪些颜色保处于以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性可不还上能 通过getVertices()和getAdjList()法律法律依据得到,因此构造兩个多 队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据形态——队列的实现与应用》),按照中间描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面.我给出的测试用例的基础上,加进去去下面的代码,来看看breadthFirstSearch()法律法律依据的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也本来我.我用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,.我将顶点I倒入最中间。从顶点I开使英语 ,首先遍历到的是它的相邻顶点E,因此是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D由于被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G由于被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,.我可不还上能 使用它做更多的事情,例如于在兩个多 图G中,从顶点v开使英语 到其它所有顶点间的最短距离。.我考虑一下要怎样用BFS来实现寻找最短路径。

  假设兩个多 相邻顶点间的距离为1,从顶点v开使英语 ,在其路径上每经过兩个多 顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()法律法律依据的改进,用来返回从起始顶点开使英语 到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()法律法律依据中,.我定义了兩个多 对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及哪些顶点的前置顶点。BFS()法律法律依据不都要callback回调函数,由于它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()法律法律依据的逻辑例如于,只不过在开使英语 的如果将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,因此在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。.我仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A开使英语 到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()法律法律依据的返回结果为基础,通过下面的代码,.我可不还上能 得出从顶点A开使英语 到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类可不还上能 参考《JavaScript数据形态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上.我说的就有未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并就有最要花费 的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

深度优先

  深度优先算法从图的第兩个多 顶点开使英语 ,沿着这人 顶点的两根路径递归查找到最后兩个多 顶点,因此返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,深度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是深度优先遍历的示意图:

  .我仍然采用和广度优先算法一样的思路,一开使英语 将所有的顶点初始化为白色,因此沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,由于顶点被探索过(正确处理过),则将颜色改为黑色。下面是深度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第兩个多 顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数结构,由于顶点A被访问过了,本来我有将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(由于处于),因此遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,本来我有将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,本来我有将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,本来我有将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I没人邻接节点,因此将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E没人其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的原先邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,本来我有将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F没人邻接节点,因此将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第兩个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,本来我有将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,本来我有将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,本来我有将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G没人邻接节点,因此将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的原先邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,本来我有将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H没人邻接节点,因此将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的原先邻接节点G,由于G由于被访问过,对C的邻接节点的遍历开使英语 。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后兩个多 邻接节点D,由于D由于被访问过,对A的邻接节点的遍历开使英语 。将A设置为黑色。
  17. 因此对剩余的节点进行遍历。由于剩余的节点都被设置为黑色了,本来我有守护进程开使英语 。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,.我将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,深度优先算法的数据形态是栈,然而这里.我并没人使用栈来存储任何数据,本来我使用了函数的递归调用,随便说说递归也是栈的并不是表现形式。另外因此 ,由于图是连通的(即图中任何兩个多 顶点之间都处于路径),.我可不还上能 对上述代码中的depthFirstSearch()法律法律依据进行改进,只都要对图的起始顶点开使英语 遍历一次就可不还上能 了,而不都要遍历图的所有顶点,由于从起始顶点开使英语 的递归就可不还上能 覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了深度优先算法的工作原理,.我可不还上能 使用它做更多的事情,例如于拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort由于toposort)。与广度优先算法例如于,.我也对中间的depthFirstSeach()法律法律依据进行改进,以说明要怎样使用深度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()法律法律依据会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,.我假定时间从0开使英语 ,每经过一步时间值加1。在DFS()法律法律依据中,.我用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(这人 和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这人 个多 值。这里都要注意的是,变量time不言而喻被定义为对象而就有兩个多 普通的数字,是由于.我都要在函数间传递这人 变量,由于本来我作为值传递,函数结构对变量的修改不需要影响到它的原始值,因此.我本来我都要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,本来我有采用值传递的法律法律依据显然不行。因此.我将time定义为兩个多 对象,对象被作为引用传递给函数,原先在函数结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()法律法律依据的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  .我将结果反映到示意图上,原先更加直观:

  示意图上每兩个多 顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,全版完成时间是18,可不还上能 结合前面的深度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一齐.我也就看,深度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序不到应用于有向无环图(DAG)。基于中间DFS()法律法律依据的返回结果,.我可不还上能 对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到.我都要的拓扑排序结果。

  由于要实现有向图,只都要对前面.我实现的Graph类的addEdge()法律法律依据略加修改,将最后一行删掉。当然,.我也可不还上能 在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  因此.我对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章.我将介绍要怎样用JavaScript来实现各种常见的排序算法。